Kate McKenzie

exemple de boule ouverte

Astuce: pour mieux comprendre, dessinez à vous-même x, B ε (x), B ε 2 (x), y, B ε 2 (y) {displaystyle x, _ _ {epsilon} (x), _ _ {frac {epsilon} {2}} (x), y, _ _ {frac {epsilon} {2}} (y)}. Par conséquent, x {displaystyle x} est un point interne. Rappelez-vous, $y $ est un point particulier de $B _ r (X_0) $, donc $d (y, X_0) $ est un nombre fixe. La notation $B left ({a; epsilon}right) $ peut être trouvée pour $B _ Epsilon left ({a} right) $, en particulier lorsque $ epsilon $ est une expression plus compliquée qu`une constante. Let $ (X, | cdot |) $ être un espace linéaire normé. Exemple: LET A be the segment [0,1) R {displaystyle [0, 1) Dans mathbb {R}}, le point p = 1 {displaystyle p = 1} n`est pas dans un {displaystyle A}, mais il s`agit d`un point de fermeture: LET A n = 1 − 1 n {displaystyle a_ {n} = 1-{frac {1} {n}}}. Cette topologie sur un espace métrique est appelée la topologie induite par la métrique d. L`exemple suivant montrera que $ overline{B (a, r)} neq bar{B} (a, r) $ en général. Tout n-ball topologique ouvert est homéomorphe à l`espace cartésien RN et à l`unité ouverte n-cube (hypercube) (0,1) n ⊆ RN. Notez que si nous avons plutôt défini d (x, y) {displaystyle d (x, y)} comme la somme des nombres Erdős de x, y {displaystyle x, y}, puis d {displaystyle d} ne serait pas une métrique, car elle ne satisferait pas d (x, y) = 0 ⟺ x = y {displaystyle d (x , y) = 0 IFF x = y}. Plutôt que de dire Epsilon-ball, comme cela serait techniquement correct, le mathématicien moderne savvy sera la voix de ce que l`e-ball commodément bisyllabique, à l`apoplexie de son professeur. Cette métrique est facilement généralisée à toute relation réflexive (ou graphique non dirigée, qui est la même chose).

Nous savons aussi que x i n t (A), x i n t (B) {displaystyle xin int (A), xin int (B)} des locaux A, B sont ouverts et x A, x B {displaystyle xin A, xin B}. Dans ce cas, (X, δ) {displaystyle (X, delta)} et (Y, ρ) {displaystyle (Y, rho)} sont dites isométriques. Notez que, comme mentionné précédemment, un ensemble peut toujours être ouvert et fermé! Les boules euclidiennes discutées plus tôt sont un exemple de boules dans un espace vectoriel normé. La dernière preuve nous a donné une définition supplémentaire que nous utiliserons pour la continuité pour le reste de ce livre. Maintenant, le choix pour $r _1 $ est plus clair puisque nous voulons $B _ {R_1} (y) $ à l`intérieur $B _ r (X_0) $. Ces concepts sont définis non seulement dans l`espace euclidien tridimensionnel, mais aussi pour les dimensions inférieures et supérieures, et pour les espaces métriques en général. Définition: la fermeture d`un ensemble A ⊆ X {displaystyle Asous-classe X} (X, d) {displaystyle ({X}, d)}, est l`ensemble de tous les points de fermeture. Et par définition du point de fermeture p {displaystyle p} est un point de fermeture d`un c {displaystyle A ^ {c}} afin que nous puissions dire que p 2 C l (A c) {displaystyle pin CL (A ^ {c})}.

La direction “⊆ {displaystyle sous-TEQ}” est déjà prouvée: si pour n`importe quel Set A, i n t (A) ⊆ A {displaystyle int (A) sous TEQ A}, puis en prenant i n t (A) {displaystyle int (A)} comme l`ensemble en question, nous obtenons i n t (i n t (A)) ⊆ i n t (A) {displaystyle int ( int (A)) sous-dossier int (A)}.

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